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कक्षा 9 गणित अध्याय 1: संख्या पद्धति
50 महत्वपूर्ण MCQ प्रश्न और विस्तृत हल
📍 Ideal Study Centre | Bairganiya Road
समय: 1.5 घंटे | स्तर: मध्यम | कुल अंक: 50
📖 परिचय (Introduction)
क्या आप कक्षा 9 (Class 9) की गणित की तैयारी कर रहे हैं? अध्याय 1: संख्या पद्धति (Number System) गणित की नींव है। यदि आप इस अध्याय की अवधारणाओं को मजबूत कर लेते हैं, तो आगे के अध्याय जैसे बहुपद (Polynomials) और निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) आपके लिए बहुत आसान हो जाएंगे।
आज के इस ब्लॉग पोस्ट में, हम Ideal Study Centre (Bairganiya Road) द्वारा तैयार किए गए एक विशेष मूल्यांकन परीक्षण के 50 महत्वपूर्ण MCQ प्रश्नों के विस्तृत हल प्रदान कर रहे हैं।
📑 इस पोस्ट में क्या है?
- Section 1: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ (Q1-Q12)
- Section 2: दशमलव प्रसार और p/q रूप (Q13-Q18)
- Section 3: परिमेयकरण और संक्रियाएँ (Q19-Q36)
- Section 4: घातांक के नियम (Q37-Q50)
- Golden Tips और FAQs
📚 Section 1: परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ (Q1-Q12)
Q1. निम्नलिखित में से कौन-सी एक अपरिमेय संख्या है?
A) 0.14 B) 0.14161416... C) 0.141161116... D) 22/7
हल: एक संख्या अपरिमेय तभी होती है जब उसका दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती (Non-terminating and Non-recurring) हो। विकल्प C में अंकों का कोई निश्चित पैटर्न नहीं है, इसलिए यह अपरिमेय है। (22/7 केवल π का एक सन्निकटन है, स्वयं एक परिमेय संख्या है)।
Q2. एक परिमेय और अपरिमेय संख्या का योग या अंतर सदैव होता है:
A) परिमेय संख्या B) अपरिमेय संख्या C) पूर्णांक D) प्राकृत संख्या
हल: यदि हम एक परिमेय संख्या (जैसे 2) में एक अपरिमेय संख्या (जैसे √3) जोड़ते हैं, तो परिणाम (2 + √3) हमेशा अपरिमेय ही होगा।
Q3. किन्हीं दो भिन्न परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ होती हैं?
A) केवल एक B) केवल दस C) अनन्त D) एक भी नहीं
हल: परिमेय संख्याओं का घनत्व (Density) अनंत होता है। उदाहरण: 1 और 2 के बीच 1.1, 1.11, 1.111... अनंत संख्याएँ लिखी जा सकती हैं।
Q4. किस संख्या को शांत दशमलव (Terminating Decimal) के रूप में निरूपित किया जा सकता है?
A) 7/12 B) 13/80 C) 8/15 D) 3/11
हल: किसी भिन्न का दशमलव प्रसार तभी शांत होता है जब उसके हर (Denominator) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2m × 5n के रूप में हों। 80 = 2⁴ × 5¹, जो इस शर्त को पूरा करता है।
Q5. दो शून्येतर अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल होता है:
A) सदैव अपरिमेय B) सदैव परिमेय C) परिमेय या अपरिमेय D) सदैव पूर्णांक
हल: यह दोनों हो सकता है। उदाहरण: √2 × √2 = 2 (परिमेय), जबकि √2 × √3 = √6 (अपरिमेय)।
Q6. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन असत्य है?
A) प्रत्येक वास्तविक संख्या परिमेय है B) प्रत्येक पूर्णांक परिमेय है
C) प्रत्येक प्राकृत संख्या पूर्ण है D) प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक है
हल: यह कथन असत्य है क्योंकि वास्तविक संख्याओं (Real Numbers) में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं।
Q7. 2 और 2.5 के बीच एक अपरिमेय संख्या है:
A) √11 B) √5 C) √22.5 D) √12.5
हल: √4 = 2 और √6.25 = 2.5। चूँकि 5, 4 और 6.25 के बीच है, इसलिए √5 (≈ 2.236) 2 और 2.5 के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या है।
Q8. 3/5 और 4/5 के ठीक बीच की परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए:
A) 7/10 B) 7/5 C) 12/25 D) 3.5/10
हल: दो संख्याओं a और b के बीच की मध्यम संख्या = (a + b) / 2 = (3/5 + 4/5) / 2 = (7/5) / 2 = 7/10।
Q9. किसी अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सदैव होता है:
A) शांत B) अनवसानी आवर्ती C) अनवसानी अनावर्ती D) इनमें से कोई नहीं
Q10. निम्नलिखित में से कौन-सी एक परिमेय संख्या है?
A) √(2/3) B) √(4/9) C) √7 D) π
हल: √(4/9) = 2/3, जो p/q के रूप में है, अतः यह परिमेय है।
Q11. √2 और √3 के बीच एक परिमेय संख्या है:
A) 1.5 B) (√2+ √3)/2 C) 1.8 D) 1.3
हल: √2 ≈ 1.414 और √3 ≈ 1.732। 1.5 इन दोनों के बीच स्थित है और इसे 3/2 के रूप में लिखा जा सकता है, जो परिमेय है।
Q12. 1/7 और 2/7 के बीच एक अपरिमेय संख्या कौन-सी है?
A) 0.1301300... B) 0.150150015... C) 0.2901... D) 0.142857
हल: 1/7 ≈ 0.1428 और 2/7 ≈ 0.2857। 0.150150015... इन दोनों के बीच है और इसका पैटर्न अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है।
📚 Section 2: दशमलव प्रसार और p/q रूप (Q13-Q18)
Q13. 0.3̄ (3 पर बार) का p/q रूप क्या होगा?
A) 3/10 B) 1/3 C) 33/100 D) 3/100
हल: माना x = 0.333...
10x = 3.333...
घटाने पर: 9x = 3 ⇒ x = 3/9 = 1/3
Q14. 0.47̄ (7 पर बार) का p/q रूप में सरलतम रूप है:
A) 47/99 B) 47/100 C) 43/90 D) 47/90
हल: माना x = 0.4777...
10x = 4.777...
100x = 47.777...
घटाने पर: 90x = 43 ⇒ x = 43/90
Q15. 0.2353535... (35 पर बार) को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए:
A) 233/990 B) 235/990 C) 235/999 D) 233/900
हल: माना x = 0.23535...
10x = 2.3535... (समीकरण 1)
1000x = 235.3535... (समीकरण 2)
समीकरण 2 - समीकरण 1: 990x = 233 ⇒ x = 233/990
Q16. 1.272727... (27 पर बार) का p/q रूप क्या है?
A) 14/11 B) 127/99 C) 11/14 D) 127/100
हल: माना x = 1.2727...
100x = 127.2727...
घटाने पर: 99x = 126 ⇒ x = 126/99 = 14/11 (9 से भाग देने पर)
Q17. यदि x = 0.9999... है, तो x का मान किसके बराबर है?
A) 9/10 B) 1 C) 99/100 D) 9/99
हल: माना x = 0.999...
10x = 9.999...
घटाने पर: 9x = 9 ⇒ x = 1
(यह गणित का एक प्रसिद्ध तथ्य है कि 0.999... और 1 वास्तविक संख्या रेखा पर एक ही बिंदु हैं)
Q18. 0.2̄ + 0.3̄ + 0.4̄ का मान क्या होगा?
A) 9/10 B) 1 C) 8/9 D) 0.9
हल: 0.2̄ = 2/9, 0.3̄ = 3/9, 0.4̄ = 4/9
योग = (2+3+4)/9 = 9/9 = 1
📚 Section 3: परिमेयकरण और संक्रियाएँ (Q19-Q36)
Q19. सरल कीजिए: (2√3 + 3√2)(2√3 - 3√2)
A) 6 B) -6 C) 18 D) 12
हल: सूत्र (a+b)(a-b) = a² - b² का उपयोग करें।
= (2√3)² - (3√2)² = 12 - 18 = -6
Q20. (5 + √7)(2 + √5) का विस्तार करने पर कुल पद होंगे:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 1
हल: विस्तार = 10 + 5√5 + 2√7 + √35। यहाँ 4 असमान पद हैं।
Q21. सरल कीजिए: (√11 - √7)(√11 + √7)
A) 4 B) -4 C) 18 D) √4
हल: (√11)² - (√7)² = 11 - 7 = 4
Q22. मान ज्ञात कीजिए: (3 + √3)(3 - √3)
A) 9 B) 3 C) 6 D) 0
हल: 3² - (√3)² = 9 - 3 = 6
Q23. (√5 + √2)² का मान है:
A) 7 B) 7 + 2√10 C) 10 + 2√7 D) 7 + √10
हल: सूत्र (a+b)² = a² + b² + 2ab
= (√5)² + (√2)² + 2(√5)(√2) = 5 + 2 + 2√10 = 7 + 2√10
Q24. 1/(√7 - 2) का परिमेयकरण गुणक (Rationalizing Factor) क्या है?
A) √7 - 2 B) √7 + 2 C) 7 + 2 D) 2 - √7
Q25. 1/(√5 + √2) के हर का परिमेयकरण कीजिए:
A) (√5 - √2)/3 B) (√5 + √2)/3 C) (√5 - √2)/7 D) √3/3
हल: अंश और हर को (√5 - √2) से गुणा करें।
हर = (√5)² - (√2)² = 5 - 2 = 3
अतः उत्तर = (√5 - √2)/3
Q26. 1/√7 के हर का परिमेयकरण कीजिए:
A) 7/√7 B) √7/7 C) 1/7 D) 7
हल: अंश और हर को √7 से गुणा करें = √7 / (√7 × √7) = √7/7
Q27. यदि 1/(7 + 4√3) = a + b√3 है, तो a और b का मान:
A) a=7, b=4 B) a=7, b=-4 C) a=-7, b=4 D) a=1, b=3
हल: परिमेयकरण करने पर: (7 - 4√3) / (7² - (4√3)²) = (7 - 4√3) / (49 - 48) = 7 - 4√3
तुलना करने पर: a = 7, b = -4
Q28. परिमेयकरण कीजिए: 1/(3 + √2)
A) (3 - √2)/7 B) (3 + √2)/7 C) (3 - √2)/5 D) (3 - √2)/11
हल: हर = 3² - (√2)² = 9 - 2 = 7
Q29. यदि x = 2 + √3 है, तो x + (1/x) का मान क्या होगा?
A) 4 B) 2√3 C) -4 D) 2
हल: 1/x = 1/(2+√3) = 2-√3 (परिमेयकरण द्वारा)
x + 1/x = (2+√3) + (2-√3) = 4
Q30. यदि x = 3 + 2√2 है, तो x - (1/x) का मान क्या होगा?
A) 6 B) 4√2 C) 2√2 D) 3
हल: 1/x = 3 - 2√2
x - 1/x = (3+2√2) - (3-2√2) = 4√2
Q31. यदि x = √2 + 1 है, तो [x - (1/x)]² का मान है:
A) 2 B) 4 C) 8 D) 1
हल: 1/x = √2 - 1
x - 1/x = (√2+1) - (√2-1) = 2
अतः (2)² = 4
Q32. सरल कीजिए: (√3 + √2)/(√3 - √2)
A) 5 + 2√6 B) 5 - 2√6 C) 1 D) 2√6
हल: हर का परिमेयकरण करें: [(√3+√2)(√3+√2)] / [(√3)² - (√2)²] = (3 + 2 + 2√6) / 1 = 5 + 2√6
Q33. यदि (5 + 2√3)/(7 + 4√3) = a + b√3 है, तो a का मान:
A) 11 B) -11 C) 6 D) -6
हल: हर का परिमेयकरण (7 - 4√3) से करें।
अंश: (5+2√3)(7-4√3) = 35 - 20√3 + 14√3 - 24 = 11 - 6√3
हर: 49 - 48 = 1
अतः a = 11, b = -6
Q34. √(3 - 2√2) का मान किसके बराबर है?
A) √2 - 1 B) √2 + 1 C) 1 - √2 D) 3 - √2
हल: 3 - 2√2 को (√2)² + (1)² - 2(√2)(1) = (√2 - 1)² के रूप में लिखा जा सकता है। इसका वर्गमूल (√2 - 1) है।
Q35. यदि x = 7 + 4√3 है, तो √x का मान क्या होगा?
A) 2 + √3 B) 2 - √3 C) 3 + √2 D) 4 + √3
हल: 7 + 4√3 = 4 + 3 + 2(2)(√3) = (2 + √3)²
अतः √x = 2 + √3
Q36. 1/(√9 - √8) का मान क्या है?
A) 3 + 2√2 B) 3 - 2√2 C) 1/(3 - 2√2) D) 1
हल: √9 = 3, √8 = 2√2
1/(3 - 2√2) का परिमेयकरण करने पर (3 + 2√2) / (9 - 8) = 3 + 2√2
📚 Section 4: घातांक के नियम (Q37-Q50)
Q37. यदि 2x = 64 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए:
A) 5 B) 6 C) 4 D) 8
हल: 64 = 2⁶, अतः 2x = 2⁶ ⇒ x = 6
Q38. 641/2 का मान क्या है?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32
हल: 641/2 का अर्थ है √64, जो कि 8 है।
Q39. 321/5 का मान क्या होगा?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16
हल: 32 = 2⁵, अतः (2⁵)1/5 = 2¹ = 2
Q40. मान ज्ञात कीजिए: 125-1/3
A) 5 B) 1/5 C) -5 D) -1/5
हल: 125-1/3 = 1 / (1251/3) = 1 / (5³)1/3 = 1/5
Q41. 93/2 का मान ज्ञात कीजिए:
A) 18 B) 27 C) 81 D) 9
हल: 93/2 = (3²)3/2 = 3³ = 27
Q42. सरल कीजिए: 163/4
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16
हल: 16 = 2⁴, अतः (2⁴)3/4 = 2³ = 8
Q43. 22/3 × 21/3 का मान क्या होगा?
A) 2 B) 1 C) 4 D) 22/9
हल: आधार समान है, घातें जुड़ेंगी: 2(2/3 + 1/3) = 2¹ = 2
Q44. सरल कीजिए: (3-3)7
A) 321 B) 3-21 C) 34 D) 3-4
हल: (am)n = am×n के नियम से: 3(-3 × 7) = 3-21
Q45. 111/2 / 111/4 का मान है:
A) 113/4 B) 111/4 C) 11 D) 111/2
हल: भाग के नियम से घातें घटती हैं: 11(1/2 - 1/4) = 111/4
Q46. सरल कीजिए: 71/2 × 81/2
A) 561/2 B) 561/4 C) 56 D) 151/2
हल: am × bm = (ab)m के नियम से: (7 × 8)1/2 = 561/2
Q47. यदि 2x = 81/5 है, तो x का मान है:
A) 3/5 B) 1/5 C) 5/3 D) 2/5
हल: 2x = (2³)1/5 = 23/5 ⇒ x = 3/5
Q48. (64/125)-2/3 का मान क्या होगा?
A) 16/25 B) 25/16 C) 4/5 D) 5/4
हल: ऋणात्मक घात भिन्न को पलट देती है: (125/64)2/3 = [(5/4)³]2/3 = (5/4)² = 25/16
Q49. यदि (am)n = amn है, तो m और n का संबंध:
A) m×n = mn B) mn-1 = n C) nm-1 = m D) m+n = mn
हल: यह घातांक का मूलभूत नियम (Power of a Power Rule) है।
Q50. [[(81)-1/2]-1/4]2 का मान ज्ञात कीजिए:
A) 3 B) 9 C) 1/3 D) 1/9
हल: 81 = 3⁴
घातों को गुणा करें: (-1/2) × (-1/4) × 2 = 1/4
अतः (3⁴)1/4 = 3¹ = 3
🌟 50/50 अंक प्राप्त करने के 3 गोल्डन टिप्स
- परिमेयकरण (Rationalization) का अभ्यास करें: परीक्षा में 30% प्रश्न सीधे परिमेयकरण के सूत्रों (a+b)(a-b) = a²-b² पर आधारित होते हैं।
- दशमलव को भिन्न में बदलने की ट्रिक: जितने अंकों पर बार (bar) है, हर में उतने ही 9 लगाएं, और बिना बार वाले अंकों के लिए 0 लगाएं।
- घातांक के नियमों को फ्लैशकार्ड पर लिखें: am × an = am+n जैसे नियमों को रोजाना 5 मिनट तक दोहराएं।
❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
Q1: क्या 22/7 एक अपरिमेय संख्या है?
नहीं, 22/7 एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ q ≠ 0)। यह केवल π (Pi) का एक अनुमानित मान (approximation) है, जो स्वयं अपरिमेय है।
Q2: दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय ही होता है क्या?
नहीं, यह हमेशा सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, √2 × √2 = 2, जो कि एक परिमेय संख्या है।
Q3: 0.999... को 1 के बराबर कैसे माना जा सकता है?
गणितीय रूप से, यदि x = 0.999... है, तो 10x = 9.999... होता है। दोनों को घटाने पर 9x = 9 मिलता है, जिससे x = 1 सिद्ध होता है। वास्तविक संख्या रेखा पर इनके बीच कोई अन्य संख्या मौजूद नहीं है।
📝 निष्कर्ष (Conclusion)
संख्या पद्धति (Number System) गणित की वह नींव है जो आगे चलकर बीजगणित और कलन (Calculus) में आपकी मदद करेगी। हम आशा करते हैं कि Ideal Study Centre के इस हल किए गए टेस्ट पेपर ने आपकी अवधारणाओं को स्पष्ट किया होगा।
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